五年级数学教案

　　教案示例
图形的变换（一）　图形的变换（二）

图形的变换（一）

　　【教学目标】

　　1．进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，能够画出一个图形的轴对称图形。

　　2．发展空间观念。培养学生的空间想像力和思维能力。

　　【教学内容】

　　一、观察图形，分析图形特点

　　师出示主题图：大家看这些漂亮的图案，你知道它们是怎么设计出来的吗？看一下这些图案有什么特点？

　　学生观察，可能会根据图形的变换把这些图形分成几类，教师引出本单元内容的学习。

　　二、探索认识轴对称图形，掌握轴对称图形的性质

　　师：同学们观察的都很仔细，老师这里就有很多轴对称图形，想一想，你们还能说出哪些对称图形呢？

　　问题：这些图形的对称轴是什么？大家还记得吗？（让学生回忆并独立画出蜻蜓的对称轴，教师在前面做示范。）

　　活动：大家试一试画出其它图形的对称轴！（学生自己在书上画出图案的对称轴，教师巡视，给出指导）

　　1．探索发现图形成轴对称的性质

　　师：我们画出了这些图形的对称轴，老师这里有一个对称图形，上面画的是什么？仔细看看，虚线是？（图形的对称轴）A和A′，B和B′，C和C′字母对应的位置有什么特点呢？（引导学生从整体上概括出轴对称的特征）

　　演示：沿虚线折叠，两个“小草”图案，也将完全重合。

　　总结：对应点到对称轴的距离相等。

　　2．活动：画出对称图形

　　师：我们看了这么多漂亮的图案，也掌握了轴对称图形的特征，下面，我们就来画一画。你能画出小房子的另一半吗？怎样能又快又准确的画出来呢？

　　出示例题2，画出下面图形的对称图形！看哪位同学画的又快又好！

　　 学生独立完成，教师巡视，如果学生有困难，提示学生只要找到左边图形的几个关键点的对称点，再连线就可以了。

　　总结：利用图形成轴对称的特征和性质找关键点的对称点。

　　三、折一折、剪一剪。

　　师：我们把一张纸连续对折三次，画上一个图形，想一想，剪出的会是什么图案？（学生思考并给出答案，教师引导）

　　师：下面我们就自己来试一试！自己设计一个图形，想一下，剪一剪，是自己想要的图案吗？

　　学生自己在下面活动，并展示自己的作品，大家共同讨论。

　　教案示例
图形的变换（一）　图形的变换（二）

　图形的变换（二）

　　【教学目标】

　　1．认识图形的施转，探索图形旋转的特征和性质，能够画出一个简单图形旋转90°后的图形。

　　2．发展空间观念。联系生活实际，让学生在具体情境中认识图形的旋转。

　　3．培养学生的空间想像力和思维能力。

　　【教学内容】

　　一、认识旋转，探索旋转图形的特征和性质

　　1．认识旋转，探索旋转图形的特征和性质

　　师：我们已经认识的轴对称图形，还有一些图案是利用某个图形旋转得来的，就好像时钟的指针，（出示教具钟表）你们能说出时钟的指针是怎么运行的吗？

　　观察钟表的表针旋转的过程，思考并理解相应的问题：

　　（1）指针从“12”到“1”是怎样旋转的？

　　（2）指针是绕哪个点旋转？

　　（3）向什么方向旋转？转动了多少度？

　　师：老师这里就有一个风车， 它是由四个颜色的三角形组成的，在风的吹动下，风车是如何旋转的。（学生可以说清楚风车发生了怎样的变换）

　　问题：风车旋转后，每个三角形有什么变化？

　　（学生会发现风车上的每个三角形都绕O点逆时针旋转了90°；旋转后的三角形的形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。）

　　注意：进一步引导学生观察，学生可能会发现每个三角形的边都绕O点逆时针旋转了90°；每个顶点都绕O点逆时针旋转了90°；对应点到O点的距离都相等；对应点与O点所连线段的夹角都是90°等。必要时，可借助学具操作帮助学生理解。

　　2．活动：画一画

　　师：（出示例题4）在方格纸上把一个图形按顺时针或逆时针方向旋转90°

　　学生分小组合作完成。

　　提示：只要找到三角形AOB的几个顶点的对应点，再连线就可以了；

　　在确定对应点的位置的时候，可以利用已经掌握的图形旋转的特征和性质方面的知识。如“对应点与O点所连线段的夹角都是90°；对应点到O点的距离都相等”等，再借助方格纸、三角板等，来确定顶点的对应点的位置。无论学生用哪种方法，只要能按要求画出旋转后的图形，都是可以的。必要时，可借助学具操作帮助学生理解。

　　3．欣赏并设计

　　（1）欣赏并分析

　　师：我们已经知道了什么是旋转，下面这些漂亮的图案就是利用图形的旋转设计出来的，你能说一说它们是利用什么图形经过怎样的旋转得到的吗？

　　注意：分析时要让学生说清：是哪个图形绕哪个点旋转，是向什么方向旋转。

　　（2）自己画一画：利用旋转设计一朵小花

　　学生利用基本图形绕旋转中心O旋转画出图形。题中没有给出旋转的角度和方向，学生完全可以根据所设计图案的需要自行确定。可以进行交流。在设计图案的过程中，要让学生在动手实践中，进一步理解旋转的特点和性质，体会旋转所创造的美。

　　二、多种方法运用

　　师：通过前面的学习，我们已经掌握了在方格纸上将图形平移、对称和旋转的方法。我们可以利用这些方法设计各种美丽的图案。

　　此时，教师应鼓励独立完成设计图案的任务，再在全班展示交流。学生可能分别运用平移、对称和旋转变换设计图案；也可能综合运用不同方法设计图案。教师不必作统一要求，同时注意对学生的设计要多给予肯定和赞赏。

　　三、数学游戏：设计镶嵌图案。

　　年级学生初步了解了图形的密铺（镶嵌）现象，本单元在此基础上，通过数学游戏拓展镶嵌图形的范围，让学生用图形变换设计镶嵌图案，进一步感受图形变换带来的美感以及在生活中的应用。

　　本活动可放手让学生独立设计，再进行交流。分析交流丰富多彩的镶嵌图案时，不管运用了什么变换，其本质都是把可镶嵌的基本几何图形进行分割后再经过图形变换拼组而成的镶嵌图形典型例题

　　【例题1】画出下面图形绕O点旋转90°后的图案。

　　分析：这是一个比较复杂的图案，在分析的时候，可以让学生首先分析简单的图案旋转，譬如图中所示的淡黄色四边形在绕O点旋转90°时的位置，这可以通过关键点的选取便能确定图形的变换位置，进而将整个图形进行变换。

        

　　答案如图所示紫色花瓣图案。：

　　【例题2】观察方格纸中图形的变换，并与同学进行交流

　　问题：

　　（1）A、B、C、D四个三角形如何变换得到“风车”图形？

　　（2）“风车”图形中的四个三角形如何变换得到长方形？

　　（3）长方形中的四个三角形如何变换得到正方形？

　　（4）正方形中的四个三角形如何变换回到最初的图形？

　　分析：这个题目呈现的是一个综合性的问题，是平移、旋转与轴对称的综合应用。主要是让学生通过对方格纸上的图形的变换过程的观察与交流，进一步认识图形的平移和旋转。让学生通过观察，尝试性的用语言去描述图形的四个变化过程。也可以利用图形自己进行操作。

。探究活动

利用图形的变换设计图案

　　【活动内容】简单的图形通过图形的对称、旋转变化出令人炫目的图案，这里给学生提供一个创新的练习机会，利用简单的图形，如三角形、圆形、方形，配合直线、点等图形，利用图形的变换，采用不同的颜色进行创作，学生们可以在方格纸上创作出属于自己的图案。

　　【活动目的】加深理解图形的变换，培养学生的审美能力以及创新能力。

　　【活动形式】3——5人小组的分组活动。

　　【活动器具】几张大小不同的印有一厘米的方格图表纸，可以配有简单的图形模板，直尺、彩笔。

　　【活动进程】

　　1．分发图表纸。

　　2．让学生们自己独立设计自己的单个图案的变化。

　　3．小组同学汇集自己设计的单个图案，进行筛选，共同合作设计一幅“令人炫目的图案”。

　　4．小组间进行交流，看谁设计的最有特点。

　　注意：可以参考相关图案设计资料。

习题精选

　　一、下面的图案各是从哪张纸张上剪下来的？请连线。

　　二、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。

　　三、画出三角形AOB绕O点顺时针旋转90度后的图形。

　　答案：

　　一、下面的图案各是从哪张纸张上剪下来的？请连线。

　　二、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。

　　三、画出三角形AOB绕O点顺时针旋转90度后的图形。

伐鹤人的毛毯——令人眩目的图案

　　美国西南部的那伐鹤人是美国最大的印第安部落。在十七世纪期间，这些土著的美国人生活在圣胡安亚利桑那州东北部的小科罗拉多河之间的地区。因为他们的语言与北美的阿撒巴斯卡语系有关，学者们认为那伐鹤人是从更远的北方迁徙来到这里的。

　　从前有个时期他们不仅袭击与他们相邻的印第安人村庄，而且还袭击西班牙人和墨西哥人的村落。然而到了十七世纪，随着西班牙人带来的绵羊，那伐鹤人过上了一个以畜牧业为基础的游牧生活。

　　那伐鹤妇女们因纺织技术的高超而闻名于天下。随着在那伐鹤乡村建立起了的贸易商埠越来越多，不久羊毛毯便成为了贸易项目。由于白人定居者不象那伐鹤人那样喜欢把毛毯穿在身上，他们把毛毯当被子和地毯用。商人们通过英镑来购买毛毯，后来这里的毛毯得名为“英镑毛毯”。（凯兰伯格，亨特及伯朗特1976年）。

　　手工纺织的那伐鹤毛毯没有两条是完全相同的。有些地区的贸易商埠已经形成了具有本地区风格和特色的毛毯。

　　                                                        

　　                                                                          图 1

　　下面我们就介绍一下“风暴图案”和“两座灰山”两种不同风格的毛毯。

　　风暴图案的发展（图1）一直可以追溯到1908或1909年（惠泰克1989年）。这种风格有其特殊的本质。中心的长方形或盒子被叫做“泥盖木屋”或“风暴之屋”或“世界中心”。角落里小一些的盒子叫“风之屋”。有的人解释说，这四的小屋子代表着那伐鹤的四座圣山。那四条和中央正方形相连接的之字形的“线段”代表着闪电，并且这还一直被认为是“滚动的原木”。在毛毯中央的上面和下面是两个既象是后现代主义又象是现实主义的甲虫，这个极富特点的甲虫名叫“水臭虫”或“矮松子甲虫”。早期毛毯的颜色有黑、白、红和灰色，尽管纺织者原先染上去的色彩早已褪去我们现在无法辨别。亚利桑那州图巴城地区编织的风暴图案毛毯一直是最出名的。

　　                                            

　　                                                                     图 2

　　“两座灰山”毛毯（图2）因它们出众的质量而闻名（库鲁克斯和罗杰斯1970年）。这件毛毯是用天然的无杂色的纯羊毛手工纺织而成。毛毯的颜色有黑色、白色和棕色，他们还能通过梳理机将黑白两种颜色梳理在一起得到灰色；将棕色和白色两种颜色梳理在一起得到棕黄色。

　　“两座灰山”毛毯是以新墨西哥的一个村庄的名字命名的，但是这个名字却和山丘毫无关系。这些毛毯的图案对比非常匀称，他们使用的特殊的几何图形包括了正方形、三角形、长方形、菱形、梯形、十字形、星形、线段和钩形等。“两座灰山”毛毯在外围通常有一道黑色的边框。在毛毯上还会有一条从毛毯的内部一直沿伸到外部边缘的线条，这是一条把邪恶的幽灵赶出去“灵魂线”。人们都认为这是编织者自己想出的个图案，这样，编织者可以把自己的思想进在所编织的毛毯上表达出来。编织者必须不断的将自己的思想表达出来以便维持她们的聪明才智，今天我们所见到的毛毯早就没有这种深刻的精神内涵了。

数学与埃舍尔的艺术

　　仅是人类的发明或创造。它们本来就“是”如此；它们的存在完全不依赖于人类的智慧。具有敏锐领悟能力的任何人所能做的事至多是发现它们的存在并认识它们而已。

　　——M.C.埃舍尔

　　M.C.埃舍尔确实是认识数学的。用数学的眼光来观察他的许多工作，是令人激动的事情。我们中大多数人都熟悉埃舍尔有关平面镶嵌图案的奇妙创造。他的工作远远胜过传统的平面镶嵌图案。他给予他所镶嵌的对象以运动和生命，这从《变形》、《天和水》、《昼和夜》、《鱼和鳞》和《遭遇》等著名作品可以得到证明。除了变换平面以外，被镶嵌对象本身也经受变换。此外，人们看到他对周期铺砌结构中的平移、旋转和反射的概念掌握得很好。

　　埃舍尔也利用拓扑学领域中的对象和概念。麦比乌斯带在他的木刻《麦比乌斯带Ⅰ》、《麦比乌斯带Ⅱ》和《骑手》中起着关键作用。他在他的作品《纽结》中精巧地作成三叶形纽结。埃舍尔的《蛇》是介绍纽结理论主题的一件完美的艺术品，即使他可能并非有意这样做。《画廊》和《阳台》是拓扑变形的奇妙例子。这些版画看来几乎好像是印刷在经过奇妙的拓扑变形的橡皮薄板上的。

　　人们在埃舍尔的许多作品中发现的另外两个数学主题是操作和混合维。在《爬虫》中，埃舍尔的二维蜥蜴怪异地变成了在现实三维空间中爬行的生命。类似的变换发生在《魔镜》和《循环》中。他利用射影几何中的概念——透视、传统意义上的没影点和他自己的曲线没影点，使《圣彼得的罗马》、《通天塔》和《高与低》中产生深度和维度的感觉。

　　圆、椭圆、螺线、多面体和其他立体是我们在埃舍尔作品中看到的几种几何对象。例如，《三个球》创造出关于球形的三维错觉，虽然它是完全由圆和椭圆组成的。在《星》中，我们看到各种不同的立体，包括柏拉图立体在内，而四面体则是《四面类星体》的中心所在。在《重力》中，有着星形十二面体。

　　埃舍尔使无穷大的概念活了起来。不需要用什么话来给它下定义，他的作品就说明了它的意义。在《旋涡》中，螺线把人们的目光带上无尽的旅程。在《方极限》中，凸现出趋向边界的无穷序列的感觉。而《圆极限》则可说是亨利·庞加莱的有界又无限的非欧几何的理想模型。在《立方空间分割》中，我们同时获得无穷大和空间镶嵌图案的概念。

　　最后，在视错觉领域，埃舍尔的工作是出众的。他借助于像彭罗斯三角形框条这样的不可能的几何图形来戏弄我们的眼睛和搅乱我们的头脑。他的《瀑布》使我们相信水正沿着封闭的环形不断地向上逆行，而在《上升和下降》中，则有两组人——一组络绎不绝地上楼，另一组络绎不绝地下楼，形成一个环。不可能图形也是他在《观景楼》和《相对性》中创造错觉的手段。在《凹和凸》中，埃舍尔是掌握振荡错觉的能手。我们的眼睛和头脑在不可信的结构和人物造型的内部和外部被弄得忽前忽后。例如，一忽儿拱顶是屋顶，一忽儿它又成了天花板。

　　M.C. 埃舍尔擅长镶嵌艺术，他还想像出一种镶嵌邮票。立方体的六个面按六个不同位置设计。所以当这邮票在一张纸上滚动时，设计图案就被镶嵌起来。

　　埃舍尔的工作可以在许多不同的层次进行研究。这里不过是对蕴藏在埃舍尔的工作中的丰富数学思想略作介绍而已。

 

数学与折纸

作者：T.帕帕斯    文章来源：转载

　　一个正方形变形为一个盒子。

　　一个正方形变形为一只鸟。

　　一个正方形变形为一条蛇。

　　一个正方形变形为一头象。

　　……

　　除非你有先见之明，否则你准会以为我们将要谈些有关拓扑（注：拓扑学是一种特殊类型的几何，它研究物体在伸张或收缩的变形中保持不变的性质。不同于欧几里得几何，拓扑学不与大小、形状以及刚性图形打交道。这就是为什么拓扑学被说成是橡皮膜上的几何的原因。想象物体存在于一个能够伸张和收缩的橡皮膜上，在这样变形的过程中，人们研究那些保持不变的性质）或魔术表演之类的话题了。

　　折纸是一种艺术形式，其历史可追溯到公元５８３年。当佛教的和尚从中国经过朝鲜东渡去日本时，带去了许多纸。由于当时纸张是很昂贵的，所以人们用时格外小心，而折纸就成了一些礼仪的完整的一部分。折纸的艺术就是从那时起一代代传了下来。

　　动物、花、船和人都是折纸的创作题材。（折纸一词是源于“折的”“游戏”。）几个世纪来，人们对折纸的热情有增无减。事实上，今天在英国、比利时、法国、意大利、日本、荷兰、新西兰、秘鲁、西班牙和美国（注：美国折纸中心联谊会位于纽约西第77街15号，ＮＹ10024。英国折纸协会位于斯托克波特（英格兰西北部城市－－译者）柴郡，桑恩路12号，ＳＫ71ＨＱ）等国家内都有国际折纸协会的区域机构。

　　在创作折纸图形时，折纸能手是由一张正方形的纸开始的，然后运用他们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。

　　一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，因为与矩形和其他四边形相比，它有四条对称轴；而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但它们又缺少正方形所拥有的直角，这就使制作上造成了较大的困难。有时人们也用其他的纸张作为折纸的开始，但纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水和剪刀的。

　　折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，揭示出大量几何的对象和性质。　

　　在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念：相似、轴对称、心对称、全等、相似比、比例、以及类似于几何分形结构的迭代（在图案内不断地重复图案）。

　　研究折纸的创作过程是极具启发性的。人们开始用一个正方形（二维物体）的纸张来折一个形体（三维物体）。如果折出了新的东西，那么折纸的人就把这个形体摊开，并研究留在正方形纸上的折痕。这个过程包含了维数的变动。折痕表示物体在扁平面（即正方体）上的二维投影。而一个二维物体到三维物体，又回到二维，这就跟投影几何的领域发生了关系。

　　《折叠天地》一书的作者Ｐ•恩格尔是一位折纸的科学和艺术专家。在他长年的折纸生涯中，有着许多珍贵的发现和创造，恩格尔使折纸达到了一个更高的境界。他强调了在折纸、数学和自然之间强有力的联系，而描画这种联系则类似于极小值问题、分形和混沌理论。

　　折纸的创作始于有限数量的材料（如一张固定大小的正方形纸）并演进为希望的样式。这里并无任何限制，也不像肥皂泡那样受现实空间的制约。

　　折纸经历了一场复兴。从早期的折纸发展到今天经历了漫长的道路。今天，专家们用纸折出了复杂的样式确实令人叹为观止。他们不用胶水、不用剪刀，巧妙地变形纸张，而且熟练的程度简直令人难以置信！最终完成的作品远非简单的盒子或花朵，而是造形逼真的动物，栩栩如生的纸的雕塑！诸如乌贼、蜘蛛、蛇、舞女、家具等等。这些创造性的成就，无疑来自长年的工作、丰富的经验和深刻的研究，就像艺术家Ｍ•Ｃ•埃舍尔献身于镶嵌艺术的发展那样。

　　数学寓于折纸之中，不管折纸人的身份如何，对数学的了解总然会在折纸中增加人们的能力和创造力。

单元测试

　　一、在下面图形各有几条对称轴，你还能画出其它对称轴吗？如果能，请画出来。

　　二、你知道方格纸上图形的位置关系吗？

　　（1）图形B与图形A的关系。（       ）

　　（2）图形C可与图形B的关系。（        ）

　　（3）图形B绕点O顺时针旋转180°到图形（   ）所在位置。

　　（4）图形D与图形C的关系。（         ）

　　三、如图：

　　（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60°后指向“（   ）”。

　　（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90°后指向“（   ）”。

　　（3）指针从“1”绕点O逆时针旋转180°后指向“（   ）”。

　　四、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。

　　五、画一画

　　（1）绕O点顺时针旋转90°

　　（2）绕O点逆时针旋转90°

　　答案：

　　一、在下面图形各有几条对称轴，你还能画出其它对称轴吗？如果能，请画出来。

　　（1）5条对称轴，如图：

　　

　　（2）2条对称轴，如图：

　　

　　（3）4条对称轴，如图：

　　

　　（4）无数条对称轴。

　　

　　（5）3条对称轴，如图：

　　

　　（6）2条对称轴，如图：

　　

　　二、你知道方格纸上图形的位置关系吗？

　　（1）图形B：过O的竖直线与图形A轴对称图形。

　　（2）图形C：过O的竖直线与图形B轴对称图形。

　　（3）图形B绕点O顺时针旋转180°到图形（ D ）所在位置。

　　（4）图形D：过O的竖直线与图形C轴对称图形。

　　三、如图：

　　（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60°后指向“3”。

　　（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90°后指向“10”

　　（3）指针从“1”绕点O逆时针旋转180°后指向“7”。

　　四、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。

　　六、画一画

　　（1）绕O点顺时针旋转90°

　　（2）绕O点逆时针旋转90°

教案示例

因数和倍数

　　【教学目标】

　　1．使学生进一步理解整除的意义。

　　2．使学生掌握整除、因数与倍数的概念，以及它们之间的相互依存关系，渗透辨证唯物主义思想。

　　3．培养学生抽象概括与观察思考的能力。

　　【教学重难点】因数和倍数的意义，理解除尽和整除，因数和倍数等概念间的联系和区别。

　　【教学过程】

　　一、创设情境，通过除法算式来引出整除的概念。

　　1．计算下面三组题。

　　（1）23÷7＝   （2）6÷5＝    （3）15÷3＝

　　     11÷3＝        1.8÷3＝        24÷2＝

　　2．观察并回答。

　　问题：

　　（1）上面哪个算式中的第一个数能被第二个数整除？

　　（2）在什么情况下，才可以说“一个数能被另一个数整除”？

　　（3）如果用整数a表示被除数，整数b（b≠0）表示除数，可以怎样说？

　　思考：我们在说一个数能被另一个数整除时，必须具备哪几个条件？

　　总结：被除数、除数都是整数，除数不等于0，商必须是整数且商的后面没有余数。

　　3．区别除尽与整除。

　　像6÷5=1.2   1.8÷3=0.6我们只能说第一个数能被第二个数除尽。

　　总结：

　　除尽——被除数和除数（不等于0），不一定是整数，商是有限小数，没有余数。

　　整除——被除数和除数（不为0）都是整数，商是整数，没有余数。

　　4．引入课程内容

　　师：一个数能被另一个数整除表示的是两个整数之间的一种关系，它们还有另一种关系，这就是我们今天要学习的因数和倍数关系（板书课题：因数和倍数的意义）

　　二、探索研究

　　1．小组学习——因数和倍数的意义。

　　（1）师出示场景图例1：

　　问题：根据图中显示的飞机架数，你能列出什么算式？（6×2＝12，2×6＝12）

　　师讲述：在2×6＝12这个算式中，2和6都是12的因数，12是2的倍数，它也是6的倍数。

　　（2）师出示场景图例2：现在飞机的队列发生了变化，看看图，你还能列出什么算式？

　　师讲述：这里3、4和12是什么关系？它们谁是谁的因数，谁是谁的倍数呢？（学生分组讨论）

　　问题：你还能找出12的其它因数么？

　　教师引导学生列出乘法算式1×12=12或12×1=12，概括出“1和12都是12的因数，12是1和它本身的倍数”。

　　（3）师：我们知道了12的因数有1、2、3、4、6、12共六个，而12分别是这些数的倍数。 那么老师要提出一个问题：两个数在什么情况下才有因数和倍数关系？（学生小组讨论）

　　总结：如果a×b＝c，那么：a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。

　　2．思考并讨论总结

　　①5×0.8＝4，能说5和0.8是4的因数，或4是5和0.8的倍数吗？

　　②2是12的因数，12是2的倍数，能不能说“2是因数，12是倍数”。

　　③乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。

　　④“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。

　　总结：

　　①我们这里说的因数和倍数是以“整除”为基础，如5×0.8＝4，虽然等式成立，但不能说5和0.8是4的因数，或4是5和0.8的倍数。

　　②因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。a是b的因数，反过来b就是a的倍数。“2是12的因数，12是2的倍数”而不是“2是因数，12是倍数”。

　　③区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。

　　在同一个乘法算式中，两者都是指乘号两边的整数，但前者是相对于“积”而言的，与“乘数”同义，可以是小数，而后者是相对于“倍数”而言的，与以前所说的“约数”同义，说“谁是谁的因数”时，两者都只能是整数。

　　④区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。“倍”的概念比“倍数”要广。如我们可以说“15是3的5倍”，也可以说“1.5是0.3的5倍”，但我们只能说“15是3的倍数”，却不能说“1.5是0.3的倍数”。

　　3．例题分析巩固

　　出示例题1：18的因数有哪几个？你是怎么知道的？

　　引导学生利用算式，分析18可以由两个数相乘，得到18的因数。注意说法的规范。

　　三、课堂实践并延伸

　　1．完成“做一做”。

　　30的因数有哪些？36呢？一个数的最小因数是什么？最大的因数呢？

　　结论：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的。

　　2．你能找出多少个2的倍数呢？（出示例题2）

　　结论：一个数的最小倍数是它本身，倍数的个数是无限的。

　　四、课堂小结：学生小结今天学习的内容。

典型例题

　　【例题1】完成下面的问题

　　（1）按从小到大的顺序分别写出下列各数的倍数：2的倍数，4的倍数，5的倍数和6的倍数各5个。

　　（2）从上面可以看出，一个数的倍数的个数是（     ）的，其中最小的倍数是（     ），没有（     ）。

　　分析：题目中要求写出各数的倍数，学生可以通过因数和倍数的意义，根据a×b＝c这个正整数构成的算式，得到随着b的变化，不同的c值都是a的倍数。相对倍数意义还是比较容易理解的。关键是要学生在完成例题的同时，理解倍数的个数是无限的，最小倍数是其本身。

　　正确答案：

　　（1）略

　　（2）从上面可以看出，一个数的倍数的个数是（无限）的，其中最小的倍数是（这个数的本身），没有（最大倍数）。

　　【例题2】写出下列数中每个数的因数和它的三个倍数（从小到大写）：

　　学习小结：从上面可以看出，一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是（    ），最大的因数是（）。

探究活动

收集生活中的数字

　　同学们，我们学习因数和倍数，实际上，在以后的学习中我们还要学习“负数”、“正数”、“有理数”、“无理数”、“虚数”、“实数”等等，学习这些数，可以扩展我们的视野，帮助我们接触更加深奥的数学知识。但是，现在，我们要打好基础，下面，我们就来看看我们都学过哪些数，看看我们生活中的数字它们可以怎样归类呢？

　　【活动内容】收集生活中的数字，给这些数字划分一下。

　　【活动形式】个人

　　【活动目的】培养学生的数学兴趣以及观察生活的能力。

　　【活动安排】

　　1．收集生活中的数字，可以相互交流一下，是否收集到完全相同的数字，譬如“全班学生的人数”，“任课老师的数目”，“教学楼的台阶”，“操场上的单杠数量”以及“全校的班级数”等等！

　　2．收集的数字可以进行划分，标准不限，问题也不限：

　　（1）地域性的：教室中常见的数字、家里常见的数字等等。

　　（2）生活中大家比较喜欢的数字，各个国家不喜欢的数字。

　　（3）收集到的常见数分成偶数、奇数是不是一样多？

　　…………………

习题精选

　　一、填空：

　　1．5×7=35，（　　）是（　　）的倍数，（　　）是（　　）的因数。

　　2．9×10=90，（　　）是（　　）的倍数，（　　）是（　　）的因数。

　　3．23×1=23，（　　）是（　　）的倍数，（　　）是（　　）的因数。

　　4．在8和48中，能被整除，是的倍数，是的因数。

　　5．在2、3、6、15、16、24、48中，是48的因数，是2的倍数。

　　二、判断题

　　1．任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身．(　)

　　2．一个数的倍数一定大于这个数的因数．(　　　)

　　3．因为1.2÷0.6=2，所以1.2能够被0.6整除．(　　　)

　　4．一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的．(　　)

　　5．5是因数，8是倍数．(　　)

　　6．36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个．(　　　)

　　7．因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数．(　　)

　　8．25÷10=2.5，商没有余数，所以25能被10整除．(　　)

　　9．任何一个自然数最少有两个因数．(　　)

　　10．一个数如果能被24整除，则这个数一定是4和8的倍数．(　　)

　　11．15的倍数有15、30、45． (　　　)

　　12．一个自然数越大，它的因数个数就越多．(　　　　)

　　答案：

　　一、填空：

　　1．35，5和7，5和7，35

　　2．90，9和10，9和10，90

　　3．23，1和23，1和23，23。

　　4．48，8，48，8，8，48。

　　5．48的因数：2、3、6、16、24、48；2的倍数：2、6、16、24、48

　　二、判断题

　　1．正确　　2．错误　　3．错误　　4．正确　　5．错误　　6．错误　　7．错误　　8．错误　　9．错误

扩展资料

没有捷径可以走　棋盘上的麦粒问题

没有捷径可以走

摘自新思考网

　　古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家，而且是一个很好的老师，他生前培养过许多学生，在这些学生中有一个特别的人物，他是希腊国王多禄米。闲着没事的多禄米，有一天忽然心血来潮想学一点儿什么东西。当时，阿基米德已是一位十分著名的科学家了。多禄米想了一想，决定把阿基米德请来，拜他为师，学习一点几何知识。

　　接到国王召见，阿基米德不敢怠慢，急忙来到了皇宫。这里金碧辉煌，气势典雅。白玉大理石铺成的透明地板，水晶珍珠般的吊灯，雕龙刻虎的巨大梁柱，把整座宫殿装扮得格外豪华、漂亮。阿基米德一边欣赏着宫殿中的装饰，心中一边想，这些宏伟的建筑中不知凝结了多少科学家和劳动人民的智慧和心血，尤其是那些精巧、别致的设计，无不反映出建造者们在数学、特别是几何学方面很高的造诣。

　　从此以后，阿基米德就当上了国王的私有数学教师。刚开始上几何课时，国王挺认真，似乎下了决心要学好这门课。可是，时间一长，多禄米的兴趣就逐渐往下落了，尽管阿基米德讲授的几何学内容都很浅显，但对于不爱学习的国王而言，一堂课的时间简直比一年还长，他日益显出不耐烦的情绪。

　　对国王情绪的变化，阿基米德看到眼里，记在心中。他仍然一如既往的认真讲课。他细心而又耐心的向多禄米讲解着各种几何的图形、原理以及计算方法。可是多禄米对眼前出现的一个个三角形、正方形、菱形的图案毫无兴趣，有点昏昏欲睡了。阿基米德来到多禄米的身边，用手推推他。这位国王勉强睁开惺松的睡眼，没等阿基米德说话，他反而先问：“请问，到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的方法和途径？用你这种方法实在太难学了。”

　　听了国王的问题，阿基米德思考着，冷静地回答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的乡村小道，一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途，请问陛下走的是哪一条道路呢？”

　　“当然是皇家的坦途呀！”多禄米回答得十分干脆，但又感到茫然不解。

　　阿基米德继续说：“不错，您当然是走皇家的坦途，但那是因为您是国王的缘故。可现在，您是一名学生。要知道，在几何学里，无论是国王还是百姓，也无论是老师还是学生，大家只能走同一条路。因为，走向学问是没有什么皇家大道的。”国王多禄米眨巴着眼睛，似懂非懂地思考了一下，总算理解了阿基米德这番话的含意，于是重新打起精神，听阿基米德继续讲课。这个故事提示了一个道理：追求科学知识没有捷径可走，科学知识对任何人都是一视同仁的。正如伟大的革命导师马克思所说：“在科学的道路上，是没有平坦的大路可走的，只有在那崎岖小路上攀登的不畏劳苦的人们，才有希望到达光辉的顶点。”

扩展资料

没有捷径可以走　棋盘上的麦粒问题

棋盘上的麦粒问题

　　在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为： 1＋2＋4＋8＋…＋2⁶³ =184****4073709551615（粒）

　　人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!

　　与这十分相似的，还有另一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

　　不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次数为：184****4073709551615次，这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的！

教案示例

能被2、5整除的数的特征　能被3整除的数的特征

能被2、5整除的数的特征

　　【教学目标】

　　1．使学生初步掌握能被2、5整除的数的特征，会正确判断一个数是否能被2、5整除。

　　2．使学生知道奇数、偶数的概念。

　　3．培养学生判断、推理能力。

　　【教学重点】掌握能被2、5整除数的特征，理解奇数、偶数的概念。

　　【教学难点】掌握能被2 和5 同时整除的数的特征。

　　【教学过程】

　　一、复习引入

　　1．请你说出整除、因数和倍数的含义。

　　2．出示情境图：

　　师：看一下图中的同学在做什么（在电影院准备看电影），你们知道电影票上的单号和双号是什么意思吗？那么什么座位号的同学应该从双号入口进？

　　通过电影院里“双号”的概念，使学生利用因数和倍数的概念，判断出这些“双数”都是2的倍数。然后引导学生观察这些座位号的个位上的数的特点，进而概括出2的倍数的特征。

　　3．38970这个数能否被2整除？你是怎样判断的？

　　师：要判断一个数是否能被另一个数整除，可根据整除的含义进行判断，但比较慢，我们可以根据数的特征来进行判断，今天我们就来学习能被2、5整除的数的特征。

　　二、探索研究

　　1．学生动手操作。学习能被2整除的数的特征。

　　（1）写出2的倍数：

　　1×2＝2；2×2＝4；3×2＝6；4×2＝8；5×2＝10……

　　（2）观察并总结特征

　　师：自己去观察2的倍数，看他们有什么特征？

　　教师让学生自己观察，如观察有困难，可作提示：看他们的个位有什么特征。

　　特征：让学生说出观察的特征。

　　检验：让学生说出几个较大的数对观察的结果进行检验看是否正确。

　　总结：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

　　2．小组合作学习——奇数和偶数。

　　总结：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（包括0），不是2的倍数的数叫做奇数。

　　让学生举例分别说出几个奇数和偶数。

　　比较奇数和偶数个位的特征。

　　（1）偶数的个位上是： 0、2、4、6、8。

　　（2）奇数的个位上是： 1、3、5、7、9。

　　3．能被5整除的数的特征。

　　师：知道了2的倍数的特征，那么你们还能找到哪些倍数的特征呢？（10：各位是0）那么能被5整除数的特征是什么呢？要想研究能被5整除的数的特征，应该怎样做？

　　（2）老师这里有一个表格，你们看一下这些数中哪些是5的倍数，用彩笔标记出来！

　　教师让学生自己涂色，观察这些倍数，概括观察的特征，然后进行检验。

　　三、课堂实践

　　1．听要求举起手

　　师：学号是5的倍数的同学请举手？学号是2的倍数的同学请举手？

　　2．讨论研究

　　①首先让学生分小组讨论。

　　“既能被2整除又能被5整除的数”，这个数一定具有什么特征？为什么？

　　② 再让学生去找并检验讨论的结论。

　　③集体订正。

　　四、课堂小结

　　学生小结今天学习的内容。

教案示例

能被2、5整除的数的特征　能被3整除的数的特征

能被3整除的数的特征

　　【教学目标】

　　1．学生初步掌握能被3整除的数的特征，能正确判断一个数能被3整除的数的特征。

　　2．培养学生抽象、概括的能力。

　　【教学重点】能被3整除的数的特征。

　　【教学难点】会判断一个数能否被3整除。

　　【教学过程】

　　一、复习并引入

　　1．问题：能被2、5整除的数有什么特征？

　　2．能同时被2 和5整除的数有什么特征？

　　引入课题：我们已经知道了能被2、5整除的数的特征，那么能被3整除的数有什么特征呢？现在我们就来学习和研究能被3整除的数的特征。

　　二、探索研究

　　1．小组合作学习：能被3整除的数的特征。

　　（1）思考并回答：

　　①什么样的数能被3整除？你有什么猜想？怎样检验你的猜想呢？

　　②要想研究能被3整除的数的特征，应该怎样做？

　　（2）学生提出自己的猜想：（个位数是3的倍数的数是3的倍数？或者没有规律？）

　　（3）观察3的倍数、6的倍数和9的倍数

　　形成猜想：各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

　　（4）检验：由学生 和老师任意报一个较大的数让学生检验观察它的特征。如：8057921。

　　 因为：8+0+5+7+9+2+1=32  32不能被3整除，所以8057921不能被3整除，8057921÷3=2685940……1。

　　三、课堂实践

　　做教材的“做一做”。

　　四、课堂小结

　　学生小结今天学习的内容。

典型例题

 

　　1．学校组织互帮小组，五（1）班有22人报名参加，如果3人一组，至少需要再来几个人参加才能正好分完？如果5人一组，至少需要再来几个人参加才能正好分完？

　　分析：这道题目是一个考查3、5倍数特征的，需要学生掌握5的倍数的特征和3的倍数的特征。

　　答案：如果3人一组，至少需要再来2人参加才能正好分完。如果5人一组，至少需要再来3人参加才能正好分完。

探究活动

看谁算得又快又对

　　我们学过了2、3、5的倍数的特征，实际上还有一些数的倍数特征也是可以归纳出来的（看扩展资料），那么，我们首先来看一下7和11的倍数的特征：

　　1．7的倍数的特征：

　　若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

　　2．11的倍数的特征

　　若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

　　学过了这些，我们就来比一比吧！

　　【活动内容】比一比谁掌握的最快并能很好的应用相关规律

　　【活动目标】帮助学生快速掌握几个常用数的倍数特征，了解倍数特征研究过程中使用的方法。

　　【活动形式】3——5人活动小组，

　　【活动过程】

　　1．公平原则，每个小组随机抽取不同的数字组。

　　2．各小组每人根据预先提供的数字，根据2、3、5、7、11等倍数的特征，判断各数是什么数的倍数，每人可以负责检验一项，然后交叉检查。

　　3．看哪个小组做的又快有好。

　　4．提出自己在分析这些数字特征时需要注意的问题。

习题精选

　　1．在15、26、32、15、51、24、47、30中：

　　（1）能被2整除的有（　　　　）；

　　（2）能被3整除的有（　　　　）；

　　（3）能同时被3、5整除的有（　　　　）；

　　（4）能同时被2、3、5整除的有（　　　　）。

　　2．123456789能不能被3整除？96543210能不能被3整除？

　　答案：

　　1．在15、26、32、75、51、24、47、30中：

　　（1）26、32、24、30；

　　（2）15、75、51、24、30；

　　（3）15、75、30；

　　（4）30。

　　2．1＋2＋3＋4＋5+6+7+8+9=45，两个数都能被3整除。

一些数的倍数的特征

　　（1）1与0的特性：

　　1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a，

　　0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。

　　（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

　　（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

　　（4一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

　　（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

　　（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

　　（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

　　（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

　　（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

　　（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

　　（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

　　（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

　　（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

　　（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

　　（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

动物与数学

　　由于生存的需要，动物肌体的构造为了适应客观环境，常常符合某种数学规律或者具有某种数学本能。许多事实是非常有趣的。

　　老虎、狮子是夜行动物，到了晚上，光线很弱，但它们仍然能外出活动捕猎。这是什么原因呢？原来动物眼球后面的视网膜是由圆柱形或圆锥形的细胞组成的。圆柱形细胞适于弱光下感觉物体，而圆锥形细胞则适合于强光下的感觉物体。在老虎、狮子一类夜行动物的视网膜中，圆柱细胞占绝对优势，到了晚上，它们的眼睛最亮，瞪得最大，直径能达三四厘米。所以，光线虽弱，但视物清晰。

　　冬天，猫儿睡觉时，总是把自己的身子尽量缩成球状，这是为什么？原来数学中有这样一条原理：在同样体积的物体中，球的表面积最小。猫身体的体积是一定的，为了使冬天睡觉时散失的热量最少，以保持体内的温度尽量少散失，于是猫儿就巧妙地“运用”了这条几何性质。

　　我们都知道跳蚤是“跳高冠军”。1910年，美国人进行过一次试验，发现一只跳蚤能跳 33cm远， 19.69cm高。这个高度相当于他身体长度的130倍。按照这样的比例，如果一个高 1.70米高的成年人，能象跳蚤那样跳跃的话，可以跳 221米高，相当于70层楼的高度。

　　蚂蚁是一种勤劳合群的昆虫。英国有个叫亨斯顿的人曾做过一个试验：把一只死蚱蜢切成三块，第二块是第一块的两倍，第三块又是第二块的两倍，蚂蚁在组织劳动力搬运这些食物时，后一组均比前一组多一倍左右，似乎它也懂得等比数列的规律哩！

　　桦树卷叶象虫能用桦树叶制成圆锥形的“产房”，它是这样咬破桦树叶的：雌象虫开始工作时，先爬到离叶柄不远的地方，用锐利的双颚咬透叶片，向后退去，咬出第一道弧形的裂口。然后爬到树叶的另一侧，咬出弯度小些的曲线。然后又回到开头的地方，把下面的一半叶子卷成很细的锥形圆筒，卷5～7圈。然后把另一半朝相反方向卷成锥形圆筒，这样，结实的“产房”就做

年龄漫谈

　　1978年初，我国前科学院院长郭沫若因病住北京医院诊治。数学家华罗庚前去探望，两人谈起寿称问题。华罗庚向郭沫若询问，古人对高寿人常给以美称，如花甲、古稀等等。但如果年龄未到整数，比如七十七岁，八十八岁，九十九岁，怎么称呼呢？郭老回答道：

　 “解决这个问题，就要求助于数学和文字学了。”

　　郭老接着说：

　 “有人把七十七岁称为‘喜寿’，八十八岁称为‘米寿’，九十九岁称为‘白寿’。原来这是三个字谜。喜字，草写，是由七十七三个字组成；米字是由八十八三个字组成；白字是百字缺一，正好九十九。”

　　华罗庚听了郭沫若的一番解释，拊掌笑道：

　 “人说郭老博学多闻，此言果然不虚。”

　　毛泽东主席晚年常念叨一句俗谚：

　　“七十三、八十四，阎王不叫自己去。”

　　有人说七十三岁是孔子逝世的年龄，八十四岁是孟子去世的年龄，因而七十三、八十四是不祥之数。这样的说法当然是迷信。不过，不能把上述这种谚语看成是一种迷信。因为它是人们从千百年来生活实践中总结出来的，反映了一定的人体生物规律，应该从人体生理病理学的角度加以研究。查一查人口档案，可以发现在七十三岁、八十四岁前后去世的人数，确实要比七十至八十、八十至九十这两个年段中其它年龄去世的人数要多，这两个“关卡”是值得进一步去研究的。

　　有一种研究的成果认为，生命的节律是以七、八的倍数呈现的，逢到这样的年头，人体总会有些消极变化，而这种变化愈老持续的时间愈长。按照这样的理论，七十三岁，实足年龄正好是七十二岁，而72＝8×9；八十五岁，实足年龄为八十四岁，而84＝7×12。这里均出现了8或7，正在“关卡”之上。又，中国历来有更年期的说法，即女子为“七七四十九”岁，男子为“八八六十四”岁，已成为民间传统的生理常识。而49、64分别是7和8的倍数。这些说法虽不能说确实可靠，但可供参考。

成了。

教案示例

质数和合数　分解质因数

质数和合数

　　【教学目标】

　　1．使学生掌握质数和合数的概念，知道它们之间的联系和区别。

　　2．能正确判断一个常见数是质数还是合数。

　　3．培养学生判断、推理的能力。

　　【教学过程】

　　一、复习引入质数和合数概念

　　问题：

　　1．什么是因数？

　　2．你自己的学号有几个因数？

　　3．教师请1～20学号的学生报出自己学号的因数分别是什么？

　　教师引导学生观察这些数的因数有什么不同（有的数只有一个因数，有的数的因数只有1和它本身，有的数有3个以上的因数），提出可以怎样分类。

　　出示表格：

　　教师在分类的基础上，引出质数、合数的概念，说明只有1和它本身两个因数的数叫质数，有两个以上因数的数叫合数，1既不是质数，也不是合数。学生掌握了质数和合数的概念以后，教师可以出示几个数，让学生判断是质数还是合数，也可以由学生自己分别写出几个质数和几个合数。

　　二、例题讲解

　　出示例题图：找出100以内的所有质数

　　让学生运用质数的概念找出100以内的所有质数。

　　1．引导学生看表，想一下该怎样找出质数？

　　提示：既然要找出质数，就是把所有的合数都划掉，我们可以怎样呢？

　　2．引导学生采用 “筛法”，即划掉每个质数的所有倍数（它本身除外）剩下的都是质数。

　　3．分别找到不同同学说出要划掉的某个质数的倍数。如2的倍数，采取让学生自己完成任务的方法，自己在下面先划好在一起演示。

　　4．划完后，体会一下划到几的倍数就可以了

　　注意：由于小学用到的质数比较少，让熟悉20以内的质数还是有必要的。

　　三、完成课后练习

　　四、课堂小结

教案示例

质数和合数　分解质因数

分解质因数

　　【教学目标】

　　1．使学生理解质因数和分解质因数的含义，初步掌握分解质因数的方法。

　　2．培养学生的观察能力、分析能力。

　　【教学过程】

　　一、复习导入

　　1．能被2、3、5整除的数的特征是什么？

　　2．什么叫质数，什么叫合数？

　　总结：

　　质数：只有1和它本身两个因数。

　　合数：除了1和它本身还有别的因数。

　　3．说出20以内的质数和合数。

　　4．下面哪些数是质数，哪些数是合数？它们各能被哪些数整除？

　　    3  6  21  28  53  60  75  97

　　教师：这节课我们就在掌握上面这些知识的基础上，学习分解质因数。

　　三、进行新课

　　1．教师：你们能把下面的数写成几个数连乘的形式吗，注意乘数不能是1。例如：

　　    4＝2×2    12＝2×2×3    22＝2×11  13＝1×13（不行）

　　教师出示下面的数：

　　    3、 6、 21、 48、  53、 50、  75、  97、

　　问学生：哪些数能写成几个数相乘的形式，哪些数不能？

　　回答：3、53、97不能写成几个数相乘的形式；6、21、48、50、75能写成几个数相乘的形式。

　　教师：3、53、97都是什么数？（质数）为什么质数不能按游戏规则写成几个数相乘的形式？

　　引导学生讨论后说出：质数只有因数1和它本身，因而只能写成“1×这个数本身”，所以不能写成几个数相乘的形式。

　　教师：6、21、48、50、75又是些什么数呢？（合数）为什么合数能按游戏规则写成几个数相乘的形式呢？

　　引导学生说出：合数除了1和它本身以外，还有其它因数，如6除了1和6以外，还有因数2和3，所以可以写成6＝2×3。

　　教师：对了。只有合数才能写成几个数相乘的形式，所以我们分解质因数就重点研究如何把一个合数分解成几个数连乘的形式。

　　我们把30写成这样的形式：

　　学生讨论后回答：30分解成2×15后，2×15中的15还可以分解成3×5。

　　教师：我们发现15不是质数，所以15还能分解。

　　教师：那么我们在分解一个数时，要把这个数分解到什么时候为止呢？

　　生：分解到都是质数就不再分解了。

　　教师：请同学们帮助老师把28分解成质数连乘的形式。

　　引导学生把28分解为：      28        28＝2×2×7

　　教师：这样把一个数分解成质数相乘的形式，同学们会分解吗？（会）

　　请同学们把60、84分解成质数相乘的形式。

　　教师：像这样每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

　　引导学生思考：刚才我们 “乘数不能用1？”引导学生说出，因为1不是质数，所以也不能作为一个数的质因数。

　　教师：从上面的例子中你能总结出什么叫分解质因数吗？

　　引导学生归纳出：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

　　2．教学用短除法分解质因数。

　　教师：刚才我们学习了一步一步地分解质因数，这样分解起来比较麻烦，为了简便，通常我们用短除法来分解质因数。

　　教师向学生说明短除法是笔算除法竖式的简化，并以30和28为例向学生具体介绍短除法的书写方法，被除数写在哪里，除数写在哪里，商又写在哪里？然后重点问学生用什么作除数？

　　引导学生归纳出：写出短除式──用能整除这个合数的最小质数去除──商如果是合数，照上面的方法除下去，直到商是质数止──把除数和最后的商写成连乘的形式。

　　教师：用这个方法把24、56分解质因数。

　　学生解答后，集体订正。

　　四、巩固练习

　　五、课堂小结

　　师生共同小结以下内容：

　　1．这节课学习了什么内容？

　　2．什么叫质因数，什么叫分解质因数？怎样用短除法分解质因数？

　　3．你还知道些什么？

典型例题

 

　　【例题1】下面哪些数是质数，哪些数是合数？分别填入制定的地方。

　　27、37、1、40、51、22、36、75、57、11、14、33、87、99

　　

　　分析：学习了质数合数的基本概念，学生很容易便会将质数和合数找出来，但是在找寻时需要让学生了解，譬如2的倍数（除了0和2之外的自然数）和5的倍数等一定是合数，而“1”即不是质数也不是合数这些基本概念。

　　答案：略

　　【例题2】判断下面各题，对的画“√”，错的画“×”，并说明理由：

　　（1）35分解质因数是35＝1×5×7　（   ）

　　（2）60分解质因数是60＝2×3×10（   ）

　　（3）27分解质因数是27＝3×3×3　（   ）

　　（4）14分解质因数是2×7＝14　　（   ）

　　分析：利用这道题目会帮助学生很快理解分解质因数的概念：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

　　答案：

　　（1）35分解质因数是35＝1×5×7　（×）

　　（2）60分解质因数是60＝2×3×10（×）

　　（3）27分解质因数是27＝3×3×3　（√）

　　（4）14分解质因数是2×7＝14　　（×）

探究活动

找朋友

　　同学们你们都学习了分解质因数吧？有些数的因数会由几个2或者几个3构成，或者由几个5构成，今天我们便来玩一个游戏

　　【游戏目的】通过游戏，锻炼学生的心算能力，培养学生的团体观念。

　　【游戏刀具】用卡片制作数字标牌：2、3、5，每个标牌要做多个，数字越小数量越多。另外用小红旗作出6、8、15、10、9、4、25、27、30、50、125等数字旗。

　　【游戏人员安排】2-3个学生做裁判,

　　【游戏过程】

　　1．裁判随机选择1个数字红旗，譬如选择数字旗8。

　　2．下面的同学要快速的找到自己的朋友，3个数字标牌是2的同学要在数字旗下面集合。

　　其它不是8的因数的同学要到另一个裁判身边集合！

　　3．游戏中带有2标牌的同学如果没有找到朋友，就要给大家表演一个小节目！并选择一个数字朋友，如3，构成6，拿到一个数字旗6，进行下一轮游戏。

　　4．所有2和3的号牌同学再次组队，站在数字旗6的队伍中。

　　5．游戏中可以找多个朋友，譬如：同时找两个2或者两个5或者一个3一个5等等。

　　6．一个裁判在场边负责秩序！

　　【活动中出现的问题】

　　由于游戏活动参加人数比较多，因此可以先是3-5人小范围活动，每个人可以随机选择数字牌，逐渐增加人数，注意安全。

习题精选

　　一、填空

　　1．最小的质数是（　　　　），最小的合数是（　　　　），最小的奇数是（　　　　）。

　　2．20以内的质数有（　　　　）。

　　二、判断

　　1．48的全部因数是2、3、4、6、8、12、16、24和48，共有9个，所以是合数。(　　　)

　　2．任何一个自然数最少有两个因数。(　　)

　　3．一个数如果能被11整除，则这个数一定合数。(　　)

　　4．一个自然数越大，它的因数个数就越多。(　　　　)

　　答案：

　　一、填空

　　1．2，4，1。

　　2．2、3、5、7、11、13。

　　二、判断

　　1．错误

　　2．错误

　　3．错误

　　4．错误

筛法

　　筛法，是求不超过自然数n（n>1）的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，约公元前274～前194年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。

　　具体做法是：先把n个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数，留下来，而把2后面所有2的倍数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有3的倍数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有5的倍数都划去。这样一直做下去，就会把不超过n的全部合数都筛掉，留下的就是不超过n的全部质数。因为希腊人是把数写在涂蜡的板上，每划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。）

　　例如，用筛法找出不超过30的一切质数：

　　1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

　　11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

　　21  22  23  24  25  26  27  28  29  30

　　因此，不超过30的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个。

趣味数学的发源地

　　我国是趣味数学最早的发源地，世界数学发展史上一些著名的趣题，在我国古数学书中早有记载。

　　例如12世纪印度数学家巴斯卡拉提出的“莲花问题”：“波平如镜一湖面，半尺高处出红莲，孤零直立在那里，狂风把它吹一边，距根生处两尺远，试问湖水多深浅？”然而此类趣题我国早在一世纪数学著作《九章算术》中，早就有了如：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？”葭（jia）是初生的芦苇

　　印度数学家的趣题是讲湖中的莲花问题，而我国古数学中讲的是池中的芦苇问题其中可以看出。这二道趣题，已知一样，求证的也一样，也就是说趣题的性质一样，然而它们的年代都相差11个世纪。这就是说我国比印度同类型趣题的提出和计算要早1100多年。

　　又如公元约1170年到1250年，意大利的著名数学家斐波纳契写的《算盘全书》一书里，收集了不少数学趣题，其中有一道说：“今有七个老太婆，一起动身赴罗马，每人各有七头骡，每头骡子驼七袋，每袋装有七只面包，每只面包有七把小刀，每把小刀有七个套子，问这些东西有多少？”

　　公元七世纪到十世纪，我国唐代流传的《孙子算经》也记载着这样的趣题：“今有出门望有九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”

　　从上两道趣题可看出，它们的性质完全一样，内容又惊人的相似，但是我国的这类趣题都比古意大利早500多年。

　　以上只举了两种类型的趣题，类似例子还有很多，我就不一一列举了。但以上可知，我国的数学趣题远比希腊、意大利、印度、中亚细亚要早。这此国家数学书本上提出的许多趣题和问题，在中国古代数学著作中早就有了而且恰恰和我国原著完全一样，这说明我国确实是数学趣题的最早发源地。

整数与偶数哪一种数多

　　如果我问你：“整数与偶数，哪一种数多？”恐怕不少同学都会说：“当然整数比偶数多了。”进一步，恐怕还会有同学告诉我：“偶数的个数等于整数个数的一半！”什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”

　　“整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全量大于部分，整数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗？”

　　你认为这样回答有道理吗？

　　这真是不成问题的问题！可是，且慢，往往就在这种最不成问题的问题上出了问题。

　　比如，我们要比较两个班级的人数的多少，该怎么办呢？通常有两种办法：

　　1．分别数出这两个班的人数，然后比较两个班人数的多少。

　　2．让两个班同学分别排成一路纵队，让两班排第一的两人牵起手来，排第二的两人也牵起手来，…，以后的同学依次对应牵起手来。最后，如果某班所有的同学都与另一班的同学牵起了手，而另一班还有同学未与某班同学牵手，则某班同学比另一班人数少。

　　现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧！

　　1.你能数出整数有多少个？偶数有多少个来吗？由于整数与偶数都有无穷多个，当然我们都不能数出它们的个数。

　　所以，用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的。

　　现在来考虑第二种办法，我们可以把整数排成一队：0，－1，1，－2，2，－3，3，…，－n，n，…。然后再把偶数也排成一队：

　　0，－2，2，－4，4，－6，，…，－2n，2n，…。

　　这样排好之后，所有的整数都排进了第一队中，所有的偶数都排进第二队中。现在让第一队中的0与第二队中的0“牵起手”来（即对应起来），第一队中的-1与第二队中的－2对应；第一队中的1与第二队中的2对应；……，第一队中的－n与第二队中的－2n对应；第一队中的n与第二队中的2n对应，……你看，这么一个对一个地“牵好手”（即建立起“一一对应关系”之后），我们马上可以发现，第一队中的每个数都与第二队中的某个数对应，而第二队的每个数都与第一队的某个数对应，两个队伍都没有任何一数剩下来，既然如此，你能说整数比偶数多吗？看来不能。这就是说：整数与偶数同样多！

　　这真似乎有悖常理了，部分竟然等于全体！但这确是事实！这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质对“无穷”却未必成立。

　　著名的数学家康托（Cantor 1829-1920）首先想通了这个问题。著名数学家希尔伯特则讲了下面一个例子：

　　一家旅馆有无穷多间房间。某天，所有房间都客满了，这时又来了一位旅客，“没问题！”老板说，他马上请一号房的客人移到二号房，二号房的客人移至三号房，三号房的客人移至四号房，等等。由于房间有无限多，自然所有的老客总有房住而新客也都住进去了。

　　而如果有无穷多位客人来怎么办呢？老板只要请一号房的客人移到二号房，二号房的客人移至四号房，三号房的客人移至六号房，等等，这时，所有单号房间都腾出来让新来的无穷多位客人住进去了。

　　按照康托建立的法则，我们可以比较任何两个无穷集合的数目的多少，而且可以得出许多惊人的结论。这里就不一一列举这些奇妙的结论了。

最古老的数学趣题

　　在七间房子里，每间都养着七只猫；在这七只猫中，不论哪只，都能捕到七只老鼠；而这七只老鼠，每只都要吃掉七个麦穗；如果每个麦穗都能剥下七合①麦粒，请问：房子、猫、老鼠、麦穗、麦粒，都加在一起总共该有多少数？

　　答案：

　　总数是19607

　　房子有7间，猫有72＝49只，鼠有73＝343只，麦穗有74＝2401个，麦粒有75＝16807合。全部加起来是：

　　7＋72＋73＋74＋75＝19607（顺便提一下，在这里不必考虑为什么把不同种类的东西加起来这个问题）。

　　史话

　　可以说这是世界上最古老的数学趣题了。大约在公元前1800年，埃及的一个僧侣名叫阿默士，他在纸草书上写有如下字样：

　　家 猫 鼠 麦 量器

　　7 49 343 2401 16807

　　但他没有说明是什么意思。

　　两千多年后，意大利的裴波那契在《算盘书》（1202年）中写了这样一个问题：“7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各有多少？”受到这个问题的启发，德国著名的数学史家M·康托尔认明阿默士的题意和这个题所问是相同的。

　　这类问题，在19世纪初又以歌谣体出现在算术书中：

　　“我赴圣地爱弗西，

　　途遇妇女数有七，

　　一人七袋手中提，

　　一袋七猫数整齐，

　　一猫七子紧相依，

　　妇与布袋猫与子，

　　几何同时赴圣地？

教案示例

长方体的认识　正方体的认识

长方体的认识

　　【教学目标】通过观察实物和动手操作等教学活动，使学生掌握长方体的特征，形成长方体的概念，发展学生的空间观念。

　　【教学重点】长方体的特征

　　【教学过程】

　　一、导入

　　师：同学们，在我们的生活中，有各种形状的物体。

　　展示主题图：长城、高楼、冰箱、衣柜、电视机包装箱。

　　师：长城上的砖、高楼、冰箱、衣柜、电视机包装箱都是什么形状的？

　　学生回答后，老师给以肯定。

　　师：对，像长城上的砖、高楼、衣柜、冰箱这些物体的形状都是长方体的，像电视机包装箱这种物体的形状是正方体。你们谁能说一说，生活中还有哪些物体的形状是长方体的？哪些物体的形状是正方体的？

　　师：今天我们就来进一步认识长方体（出示课题）。

　　二、探究新知

　　1．让学生拿出准备好的一个长方体的纸盒来观察它们的特征。

　　（1）认识长方体的面。（让学生分组讨论）

　　①用手摸一摸它有几个面（注意培养学生有顺序地观察）

　　②每个面是什么形状？（注意出示也有两个相对的面是正方形）

　　③哪些面完全相等？

　　再根据学生的发言用归纳出：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）相对的面的形状、大小完全相同。

　　（2）认识长方体的棱。

　　让学生用手摸一摸长方体每两个面相交的地方（有意引导学生有顺序地摸）。这些地方我们给它起个什么名字呢？（学生按自己的想法来做，最后统一为“棱”）再让学生分小组去数和量：

　　①数：长方体有多少条棱？（要说出数的方法）

　　②量：动手量一量每条棱的长度，看哪些棱的长度相等？（有什么规律？）

　　根据学生的发言归纳出：长方体有12条棱，相对的4条棱的长度相等。

　　（3）认识长方体的顶点。

　　让学生拿一个长方体纸盒，用手摸长方体每三条棱相交的地方，并提问：

　　①你们知道它叫什么吗？（顶点）

　　②长方体有几个顶点？（8 个）

　　（4）拿一个长方体放在讲台上让学生观察。

　　①最多能看到几个面？（3个面）

　　问题：所以我们通常把长方体画成这样。

　　②完成下面的表格

　　3. 认识长方体的长、宽、高。

　　师：（出示一长方体框架）我想知道做这个长方体框架共需要多长的铁丝，怎么办？

　　生1：量出每条棱长再相加就可以了。

　　师：这个方法可以吗？为什么？有没有其他方法？

　　生2：可以，因为要求做这个长方体框架共需要多长的铁丝，实际上就是算长方体的棱长总和是多少，所以只要把每条棱长相加就可以了。

　　师：还有其他方法？

　　生3：有，只要量出相交的三条棱的长度，把它们相加乘上3就可以了。

　　师：真聪明。像这样相应于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高（随着在长方体上标上长、宽、高）。请指出自己手上的长方体的长、宽、高。

　　让学生分组讨论如下的两个问题：

　　（1）它的12条棱可以分成几组？怎样分？

　　（2）相交于同一个顶点的三条棱长度相等吗？

　　找几名代表将测量结果告诉大家。

　　4．想一想：

　　（1）你知道相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的什么吗？（长、宽、高）

　　（2）长方体的长、宽、高的长短与这个长方体有没有关系？

　　结论：长方体的大小和形状是由它的长、宽、高决定的。

　　三、课堂实践

　　量一量教科书的长、宽、高。

　　五、课堂小结

　　由学生小结今天学习的内容。口诀：

　　长方体立体形，8顶6面十二棱；

　　棱分长、宽、高，每组四条要记好；

　　6个面对着放，对应面都一样。

教案示例

长方体的认识　正方体的认识

正方体的认识

　　【教学目标】通过观察实物和动手操作等教学活动，使学生掌握正方体的特征，理解长方体和正方体之间的关系，发展学生的空间观念。

　　【教学重点】正方体的特征及长、正方体的异同点。

　　【教学过程】

　　一、创设情境

　　1．请大家拿出昨天做好的长方体，边观察边填写下表：

　　2．填好表后请回答：

　　（1）什么叫做棱？

　　（2）什么叫做顶点？

　　（3）相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做这个长方体的什么？

　　以上是长方体的特征及有关知识，（拿出一个正方体）你知道它有什么特征吗？这节课我们就来学习和研究正方体的特征。

　　二、探索实践

　　1．让学生拿出准备好的正方体，小组合作学习。

　　（1）观察并回答：

　　①它们的形状都是什么体？（正方体）

　　②正方体还有一个名称你知道吗？（立方体）

　　（2）小组讨论。

　　请同学们拿出你们准备好的正方体，观察和讨论一下正方体有什么特征。然后选一个代表说出你们观察讨论的结果，最后将学生的发言归纳在下表中。

　　（3）小结。

　　正方体是由_____个_____的正方形围成的_____图形。正方体也有_____条棱，它们的长度_____。正方体也有_____个顶点。

　　（4）做第22页的“做一做”。

　　请同学们拿出准备好的正方体展开图的硬纸片，动手将它折、贴成一个正方体，再量出它的棱长，并标出它的棱长。

　　2．学习长方体和正方体的异同点。

　　（1）请你观察一下长方体和正方体的特征，看它们有哪些相同点，有哪些不同点？

　　（2）想一想：长方体和正方体有什么关系？

　　结论：正方体可以说成是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。用图表示。

　　三、课堂小结

　　（1）正方体的特征。

　　（2）长方体和正方体的关系。

典型例题

　　【例题1】下面几个图形可以折成一个正方体（    ）

　　分析：例题是检查学生对正方体展开图的认识，各图形都是六个正方形，因此判断的标准就是通过空间想像，分析一下图形在组合时各自的位置，要把握“中间4个，两侧各一个”的原则。

　　答案：AB。

　　【例题2】用一根长 60厘米的铁丝围成一个长方体，这个长方体长 7厘米，宽 4厘米，它的高是多少厘米？这个长方体有什么特点？

　　分析：长方体的12条棱，每相对的4条棱算作一组，12条棱可以分成3组，分别是长方体的长、宽和高。首先将60÷4＝15，得出：长＋宽＋高＝15，就可以根据长和宽求出长方体的高了。

　　答案：长方体的高是 4厘米，由于长方体的宽和高是相等的，可以知道长方体的四个面完全相同，两个面为正方形。

探究活动

游戏：我来摸一摸

　　同学们，我们在小学阶段已经认识很多图形，有平面的也有立体的，你对它们的特征都掌握了吗？这里有很对图形，蒙上你的眼睛，你能用手摸判断它们的形状吗？

　　【活动目的】通过游戏加深理解立方体的特征

　　【活动形式】3～5人小组

　　【活动器具】各种形状的图形，譬如用硬纸板做成的三角形、长方形、圆形、正方形、椭圆形、五角星，还有各种立体图形，长方体、正方体、球体等等

　　【活动内容】

　　1．每个小组都要参加，选派一名代表，组内成员可以在下面做为助手。

　　2．通过比赛的形式，先是用手摸判断手中的图形，当判断不出时，下面的助手有三次帮助的机会，只能用一些图形特征进行提示，譬如长方形和正方形判断不出时，可以提示：“相邻边不等”，每次提示不能说出答案。

　　3．看谁在相同时间内判断出最多的图形。

　　4．游戏方式多样，学生可以自己规定游戏规则。

　　5．代表可以轮换。

习题精选

　　一、填空

　　1．长方体有（　）个面，它们一般都是（　）形，也可能有（　）个面是正方形。

　　2．长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面，它们的面积（　）。

　　3．长方体的12条棱，每相对的（　）条棱算作一组，12条棱可以分成（　）组。

　　4．正方体有（　）个面，每个面都是（　）形，面积都（　）。

　　5．一个正方体的棱长是 6厘米，它的棱长总和是（　）。

　　6．一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（　）分米。

　　7．一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（　）厘米。

　　8．把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（　）厘米。

　　二、判断题

　　1．长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶。（　）

　　2．长方体的6个面不可能有正方形。（　）

　　3．长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条。（　）

　　4．正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（　）

　　5．长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（　）

　　6．一个长方体长 12厘米，宽 8厘米，高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是8厘米。（　）

　　三、选择题

　　1．下列物体中，形状不是长方体的是（　）。

　　①火柴盒　　②红砖　　③足球　　④木箱

　　2．长方体有（   ）条棱中，（    ）个面；（     ）个顶点。

　　①4　　②6　　③8　　④12

　　3．下列三个图形中，能拼成正方体的是（　）

　　①    ②     ③

　　4．把一个棱长3分米的正方体切成两个相等的长方体，增加的两个面的总面积是（　）平方分米．

　　①18　　②9　　③36　　④以上答案都不对

　　四、解决问题

　　1．用 96厘米的一根铁丝焊成一个正方体框架，这个框架的每条棱长多少厘米？

　　2．用一根长 48厘米的铁丝围成一个长方体，这个长方体长 5厘米，宽 4厘米，它的高是多少厘米？

　　答案：

　　一、填空

　　1．6；长方；2。

　　2．两两相等。

　　3．4；3。

　　4．6，正方，相等。

　　5．72厘米。

　　6．14.8分米。

　　7．3厘米。

　　8．16厘米。

　　二、判断题

　　1．对；

　　2．错；

　　3．错；

　　4．对；

　　5．对；

　　6．错

　　三、选择题

　　1．③

　　2．④；②；③

　　3．①③

　　4．①

　　四、解决问题

　　1．这个框架的每条棱长8厘米。

　　2．它的高是3厘米。

扩展资料

六视图　雪花为什么是六角形的

六视图

　　上图是一个标准的正方体，我们从正上方，正下方，正左边，正右边，正前方，正后方看这个正方体，看到的都是一个正方形。把这句话反过来说，如果从这6个方向看一个物体，看到的结果都是正方形的话，是不是说明这个物体就是立方体呢？答案是肯定的。

　　上面的事实说明，可以通过上，下，左，右，前，后这6个方向上所看到的物体图形来确定一个物体的形状，我们称这6个平面图形为六视图。

　　下面的图是一个物体和它的六视图，但其中有一个视图是错误的。  

　　你能找出哪个视图是错误的吗？

扩展资料

六视图　雪花为什么是六角形的

雪花为什么是六角形的

　　雪花有多种多样的形态，但每一片雪花都是六角形的，这是大自然呈现给我们的美丽，也是给我们出的一道课题。

　　雪花的形状，涉及到水在大气中的结晶过程。大气中的水分子在冷却到冰点以下时，就开始凝华，而形成水的晶体，即冰晶。冰晶和其他一切晶体一样，其最基本的性质就是具有自己的规则的几何外形。冰晶属六方晶系，六方晶系具有四个结晶轴，其中三个辅轴在一个平面上，互相以六十度角相交；另一主轴与这三个辅轴组成的平面垂直。六方晶系的最典型形状是六棱柱体。但是，当结晶过程中主轴方向晶体发育很慢，而辅轴方向发育较快时，晶体就呈现出六边形片状。

　　大气中的水汽在结晶过程中，往往是晶体在主晶轴方向生长速度慢，而三个辅轴方向则快得多，冰晶多为六边片状。当大气中的水汽十分丰富的时候，周围的水分子不断地向最初形成的晶片上结合，其中，雪片的六个顶角首当其冲，这样，顶角上会出现一些突出物和枝杈。这些枝叉增长到一定程度，又会分叉。次级分又与母枝均保持六十度的角度．这样，就形成了一朵六角星形的雪花。每片雪花在整体上虽然都是六角星形的，但在细微形态上却有很多差别。有人专门收集过不同形状的雪花，竟发现有六千多种不同的细微形态的雪花。

　　雪花从空中飘落时，为什么能保持六角形的形态呢？科学家们发现，雪花在空中飘浮时，本身还会振动，而这种振动是环绕对称点进行的，而这个对称点正是最初形成的冰晶，这就是保持雪花形态在飘落过程中不发生变化的原因。

　　不过，在极地，有时由于大气中的水汽不足，湿度极低，水汽结晶过程十分充裕，冰晶最终能形成六棱柱状的标准形态。因此，在极地区，有时就能看到降下来的雪不是片状的雪花，而是一些六棱柱形的雪晶。